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问: 牛顿力学是如何过渡到热力学的?
Agent 001
2018-06-30 00:00
牛顿 热力学 物理定律 牛顿力学 统计物理 基本物理量 牛顿 统计力学 物理
牛顿力学中决定性的物理量、物理关系是如何过渡到热力学(统计力学)的随机性、统计性的物理量、物理关系的啊?需要做哪些近似、哪些基本假设,可以从牛顿定律推导出热力学定律?
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牛顿力学并不能过渡到热力学,可是在必定时刻和空间标准下的某些微观和微观的物理性质间能够经过计算力学理论和热力学来树立联络,最成功的事件包含晶格动力学、分子动力学等。

晶格动力学假定晶格中每个原子的振荡都能够以简谐振荡来描绘,由此能够得到晶体中的振荡频率和波矢之间的联络,然后由德拜模型或爱因斯坦联络能够将这种振荡和随意能、比热、弹性常数等微观物理量树立起来联络,现在进一步的发展中考虑了非谐效果,并引进了比德拜和爱因斯坦联络更精确的模型,现已能够处理热膨胀问题。

分子动力学是以几个假定作为基础的:(1)玻恩-奥本海默近似。该近似确保了在描绘系统结合特性的时侯只考虑电子散布而不考虑离子实的合理性,以及在描绘系统结构特色的时侯直接用已知结构和能量联络来求解原子运动方程而不考虑对直接考虑电子影响的可行性。(2)影响物质微观结构和性质改变的原子微观运动主要能由牛顿力学描绘,而不用考虑相对论效应,触及的量子效使用简略的势函数即可统摄,这一点不只是使得运动的描绘得到简化,并且使得压力、应力、应变等微观力学概念能够引进,也确保了物态方程概念能够被引进。(3)能均分定理在原子级模仿中依然建立,这一点确保了温度的引进。(4)当热浴和压浴算法发生的统一数量趋于无穷大时,其性质散布和实在国际相同系综里的统一体现相同。(5)关于一个平衡系统,时刻均匀等效于系综均匀。经过这个办法,理论上说能够核算化学反应、相变、非晶、分散、热传导、弹性、开裂、冲击、疲惫......简直一切微观物理问题,可是这其间的假定条件的确是太强了,特别是势函数,承载了我们太多的希望,真实上能处理的问题也仍是比较有限的,可是它的确是用计算理论沟通了微观和微观,也的确说明晰经过经典计算力学能够从许多个别独自的力学行为获取微观的物理性质。

除此之外,曾经还听人说过,弹性力学傍边有些处理和计算力学的配分函数的做法也差不多,乃至人工智能的某些算法也是相似的,不过个人感觉这概率就应该算是计算学的内容,而不是计算力学了。

2018-07-07 00:00:00
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第一,为了让描写统一性质的变量尽概率简略,我们选取广义坐标、动量(相空间 \Gamma 坐标),用哈密顿力学描绘动力学性质。其实就是把牛顿力学的束缚悉数去掉了

\begin{split} & \frac{d u}{dt} = J \nabla H(u)\\ & u = (q, p), ~~ J = \left( \begin{array}{c c} 0 & I \\ -I & 0 \end{array}\right) \end{split}

关于我们期望观察到的力学量性质,能够表明成相空间坐标的函数,这个函数并不显含时刻,对时刻的依靠表现在相空间坐标对时刻的依靠。Liouville算子及时刻演化方程为

\frac{d f(u)}{dt} = \{f(u), H\} = \mathcal{L}f(u), ~~~ \mathcal{L} \stackrel{d}{=} \dot{u}\cdot \nabla = J \nabla H(u) \cdot \nabla = \sum_i \frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial }{\partial q_i} - \frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial }{\partial p_i} = \{\cdot, H \}

方式上能够将力学量的时刻演化方程的解写成 f(u_t) = e^{t\mathcal{L}} f(u_0) =f(\phi_t(u_0)), ~~~ u_0 \in \Gamma ,其间, \phi_t : \Gamma \rightarrow \Gamma 是相流。Liouville算子能够诱导一个单参微分同胚群,群元能够做为相空间上的测度的推前映射、力学量拉回映射。由对偶性,能够得到相空间上的测度的时刻演化 \mu_t(A) = e^{-t\mathcal{L}}\mu_0(A) = \mu_0(\phi_{-t}(A)), ~~~ A \in \mathscr{L}(\Gamma)

Note.

(1) 假如学过随机进程,能够发现,这儿的Liouville算子和随机进程的生成元很相似,诱导了移动半群

(2) 这儿的相流是断定的,也就是假如给定了哈密顿量,给定了初始条件,统一的演化是彻底断定的


下面,我们着手考虑为什么会呈现随机性

关于真实的统一,随意度都是十分大的,我们不能能求解那样高维的哈密顿方程去得到统一的相流,所以,即便我们现已经过对偶性得到了测度的表达式,由于没有相流,也没办法使用。可是,真实的问题中,我们往往只对统一的一部分随意度感兴趣,因而,我们现在需求考虑的问题是,怎样从十分复杂的统一中得到一个比较小的子统一的运动规则而且尽概率在坚持整个统一性质的条件下去简化核算量

举个事件,关于水里的一个小花粉粒,我们只想知道花粉粒的运动,对整杯水的运动并不感兴趣

下面先做一些数学上的处理

我们在相空间上先界说一个L^2空间, L^2(\Gamma, \mathscr{L}, \mu)\mathscr{L} 是Lebesgue代数, \mu \in \ker \mathcal{L} 选取这样的概率测度是为了在后边让Lebesgue测度下的随同算子和内积含义下的相同。界说内积 \langle f, g \rangle = \mathbb{E}[f(u)g(u)]

下面就比较明亮了,把我们感兴趣的变量中选出线性无关的那一部分相空间坐标,记为 A = \{a_i\}_{i \in I} ,A能够诱导一个sigma-代数 \mathcal{F} ,有子空间 L^2(\Gamma, \mathcal{F}, \mu) ,那我们感兴趣的力学量真实上就是变量族A上的函数,关于恣意函数,我们也能够考虑这个函数在子空间上的投影,这个投影,就是我们所感兴趣的力学量。从这样的逻辑,我们能够用条件期望界说投影 \mathcal{P} = \mathbb{E}[\cdot|\mathcal{F}] ,正交补由算子 \mathcal{Q} = \mathcal{I} - \mathcal{P} 给出。所以,我们感兴趣的力学量 f = \mathcal{P} F \in L^2(\Gamma, \mathcal{F}, \mu) ,也就是说,我们只要把投影算子或这个子空间的性质研讨好就行了

早年面的方式解,我们能够把哈密顿方程写成算符方式 \frac{d f(u)}{d t} = e^{t \mathcal{L}}\mathcal{L}f(u) ,接下来,我们就用前面给出的投影算子,来对统一的动力学性质进行别离

 e^{t\mathcal{L}}\mathcal{L} = e^{t\mathcal{L}}\mathcal{P}\mathcal{L} + e^{t(\mathcal{P} + \mathcal{Q})\mathcal{L}}\mathcal{Q}\mathcal{L} = e^{t\mathcal{L}}\mathcal{P}\mathcal{L} + e^{t\mathcal{Q}\mathcal{L}}\mathcal{Q}\mathcal{L} + \int_0^te^{(t-s)\mathcal{L}}\mathcal{P}\mathcal{L}e^{s\mathcal{Q}\mathcal{L}}\mathcal{Q}\mathcal{L}ds

首个个等号用了恒等算子的性质,第二个等号用了常数变异法的算符方式

Note.

(1) 首个项是 e^{t\mathcal{L}}\mathcal{P}\mathcal{L}f(u) = (\mathcal{P}\dot{f})\circ\phi_t(u) 彻底是子空间内的

(2) 第二项是彻底和子空间正交的,因而,我们把这一项近似成噪声,经过数据等等来得到其性质,到这儿,随机性就出来了,其来历就是由于我们对这一部分不感兴趣,或说,由于统一的随意度太大了,我们有的仅仅仅仅感兴趣的那一部分小的子空间的信息

Proof. \forall g \in L^2(\mathcal{F}), \langle e^{t\mathcal{Q}\mathcal{L}}\mathcal{Q}\mathcal{L}f, g\rangle = \langle \mathcal{L}e^{t\mathcal{Q}\mathcal{L}}f, \mathcal{Q}\mathcal{P} g\rangle = 0

(3) 第三项是前两项的卷积,经过近似,这一项将成为粘滞部分

(4) 回到方才的事件,首个项就是花粉粒的运动性质,第二项就是整杯水的运动,由于我们压根无法盯梢每一个水分子的运动,所以,我们经过近似将水分子的运动等效成无规则热运动对花粉粒的磕碰,即Brown运动,即白噪声,第三项是水分子的无规则热运动对花粉粒随意运动的搅扰,所以,也就天然的了解为水的粘滞了

(5) 由于最终一项是卷积,假如在Markov近似下,第二项做为白噪声,那么第三项的导出进程中能够比较天然的得到一个粘滞和噪声相关之间的联系,也就是Einstein联系,所以,当噪声项趋于0时,由于Einstein联系的束缚,后两项也将为0,整个方程退化为哈密顿方程

(6) 现在,整个统一的动力学性质就能够由一个随机微分方程来表明, d X_t = F(X_t) dt + \sigma(X_t) dB_t ,生成元 \mathcal{L} = F\cdot \nabla + \frac{1}{2} \sigma \sigma^T : \nabla \nabla ,生成元一样相似于Liouville算子能够诱导移动半群,所以,接下来的故事的数学实质就是随机进程了。后边的故事就是非平衡态核算物理


以上就是动力学性质的过渡,由于测度和力学量的对偶性,我们一样能够从概率测度的视点来将断定性的哈密顿力学过渡到核算物理。这部分在这个答复里现已写过了

怎样了解随意能?

关于非平衡系综,由于给定样本点之后,随机进程是时刻的函数,给出了一条样本轨迹,所以上面的熵、随意能等悉数改成样本轨迹的泛函就能够了。那么,下面我们要说的就是怎样从微观过渡到微观,即热力学性质。热力学性质真实上就是统一的最概然性质,前面提到了相空间坐标能够作为微观态,给定NVE下熵的最大值(规范化之后为0)的点的调集为微观态,给定NVT下随意能的最小值的点的调集为微观态。在热力学极限下,力学量的取值会依概率的收敛到微观态。所以,要将核算物理的定论过渡到热力学,就是把有限随意度统一的散布性质先研讨清楚,给出微观态调集,这些值就是热力学极限下统一的热力学性质的表现


上面写了这么多,真实上就仅仅一个思路罢了,要直接经过哈密顿力学核算热力学是十分困难的,由于,里边涉及到许多的假定,而且核算量也是十分的大。热力学、核算物理之所以是一个独立的分支,而不是理论力学的隶属,也是由于各自的研讨办法各有不同,并不是单纯的归于联系。不过,在研讨里仍是比较有用的,例如Monte Carlo就是用哈密顿力学/子统一的哈密顿力学(Langevin方程)来得到相空间坐标的样本轨迹,然后研讨力学量的性质,或和试验得到的微观性质比照

2018-07-05 00:00:00
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热力学研讨微观的很多粒子组成的统一。从牛顿力学过渡到热力学能够先引进散布函数,由描绘每个粒子的运动转为描绘散布函数的运动方程,然后写出BBGKY方程链,然后做切断得出Boltzmann方程,描绘单个粒子散布函数,然后得出H定理。这个进程要做时刻,空间的粗粒化近似,并且H定理并不是热力学第二定律。但从中能够体会到怎么从微观过渡到微观的进程。

2018-07-05 00:00:00
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牛顿力学从没过渡到热力学


那是一门异乎寻常的学科


和牛顿力学方枘圆凿

2018-06-30 00:00:00
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1,传统热力学是一门经历力学/学科,许多假定是十分“想当然”的,比牛顿力学还“想当然”;

2,牛顿力学假定了三大规律,进而推导出了动量定理等等,这简直就是物理学的123,天然它就成了大很多假定的父亲;

3,热力学假定神马微粒,神马微团,神马球形分子,都被人的想象力所约束,惯性的就套用了牛顿力学;

4,详细的的假定随意找本《热力学》《工程热力学》比在知乎发问靠谱的多。

2018-06-30 00:00:00
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