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问: 牛顿在数学方面有多牛?
艾特你
2017-08-26 00:00
牛顿
我知道牛顿很牛,而且是全方位的,但是有点没搞清楚牛顿在数学方面到底有多牛。我看到过两种排序,一种说最伟大的三个数学家是 阿基米德,牛顿,高斯。一种说是牛顿,高斯,欧拉。高斯,欧拉有多牛我知道。阿基米德毕竟是古人可以先不管 ,总觉得牛爵爷在数学方面的成就好像没有辣么厉害啊。我查了下,牛顿在数学方面的成就,主要就是独自建立了微积分(这个人家莱布尼兹也有,当然谁先谁后的口水战我们就不参与了)。至于三大定…
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当咱们企图以纯数学家的身份谈论牛登时,的确会感觉比起最具有原创性的伽罗瓦、黎曼这样的数学家来说,牛顿的作业在数学方面的原创性的确不是最高的。但我们的确不该该用今日的眼光来点评牛顿,必需要考虑过去的进程。


我们先不说二项式公式或是最速降线这样看起来很厉害,但对牛顿真实的数学奉献何足挂齿的作业了(这是对牛顿这样等级的数学家来说,关于一般的数学家这天然是值得大书特书的作业)。我们单说说微积分。

微积分的朴素观念,早在公元前就呈现了。阿基米德就从前用类似于积分的办法求几许体的体积。世界各国的文献中都呈现过微积分的朴素主意。例如我们了解的我国,祖冲之关于核算Pi的割圆法就是一种朴素微积分主意的表现。而即便是现代微积分,也有许多效果呈现在牛顿之前。牛顿的教师巴罗就现已知道微分和积分之间含糊的逆运算联系,并且和沃利斯等人一起发现了微积分根本定理的一种方式。更不要说与此同时代的莱布尼茨与牛顿之间关于微积分优先权的争端。

我们可以考虑一下:在这种情况下,为什么牛顿(以及莱布尼茨)依然被认为是微积分的发明者呢?要说原创性,比他们早得多的学者们现已有了许多微积分的思维了;要说严厉性,还得比及19世纪巨大的体育教师呈现微积分的根底极限理论才算是根本建立。这二位终究做了什么,获得了微积分发明人的荣誉呢?

其实二位建立这一荣誉的理由,还真的得从他们数学家外的作业来解说。莱布尼茨的主业是哲学家。他对微积分的符号统一与代数方式的研讨不得不说受他自己关于理性主义哲学的研讨与深刻理解的影响。我们至今依然利用莱布尼茨的符号系统,全世界的数学家大部分都是莱布尼茨的传人(例如我好像是第18代传人),这都源于他对符号系统对数学重要性的知道。还有说一句,好像哲学家都对代数办法有分外的注重,例如笛卡尔等。

而牛顿在数学家之外的主业是什么呢?物理学家。牛顿最重要的奉献是知道到,微积分(乃至更一般的代数学)是可以用来研讨物理的。这在今日简直是再天然不过的作业,但是在牛顿那个时代,物理学是什么样的呢?


去世于牛顿出世那一年的欧洲最巨大的物理学家伽利略被称为现代科学之父。他重要的效果之一就是把数学办法引进物理学,他也是最早提出天然规则是数学性的学者。所以在牛顿的时代,数学东西能用来描绘物理规则还仅仅一个初生的幼芽。学者们知道许多物理规则可以用定量分析的办法来描绘,但数学怎样参加其间依然是一个谜。而巴罗等人知道到了几许关于物理的重要性,但也停留在几许图形用于描绘运动轨迹这样朴素的信仰上。这并不难理解:《几许本来》是那么巨大,也为后世的数学家对几许的证明打下了坚实的信仰。巴罗就是这样:他用几许的办法描绘微积分,然后没能发现微积分与物理之间的联系。


而牛顿革命性的作业在于抛弃了纯几许办法,然后用代数办法来描绘微积分。与莱布尼茨异曲同工,他获得了(虽然不严厉)有用的微积分东西。更重要的是,牛顿知道到微分方程是描绘物理规则的中心言语,这也是他的根本物理规则的源头。牛顿的巨作《天然哲学的数学原理》之名也来历于此,虽然牛顿向其时干流的数学物理界退让将微积分的言语躲藏了起来。直到今日,代数言语和微分方程依然是绝大部分物理规则的言语,这都得追溯到牛顿的作业。

有的人或许会问:这作业或许是十分巨大,但这不是牛顿关于数学的奉献,而是物理的奉献呀?所以这就是为什么我们要考虑过去的进程。从上面我们可以看出来,牛顿对数学有什么奉献:

首个,他的确是最早将微积分开展成有用东西的人之一,担得起微积分发明人的荣誉;

第二,用微积分言语成功论述物理规则,大大提高了数学在天然科学中的价值。不光证明伽利略的使用数学描绘物理规则的思维是十分成功的,与此同时也让后世的科学家知道到了数学的重要性。让数学成为描绘规则的东西的重要性,怎样宣扬都不为过;

第三,反过来,将数学和物理成功结合又促进了数学家对物理学以及天然规则重要性的知道。这一点我想超出提一下。

其实细心想想,微积分可以从17世纪传下来其实是不容易的。以贝克莱主教为首的哲学家们一向没有中止对微积分的进犯。并且公私分明,这些进犯是十分有含义的、抓住了前期微积分的要害的。直到19世纪,微积分的严厉性才根本被处理。都说数学最重要的是严厉性,但为什么这么一门不严厉的学科竟然能被传下来,并且竟然最终都可以正确而严厉的解说,我们恐怕仍是得归功于物理。正是由于这些数学东西都用来描绘物理规则,并且适当成功,这才幸运确保了它的正确性。我想在未来,即便又呈现了新的数学危机,某个数学的根底再被推翻,那些和物理结合在一起的数学都不必忧虑,由于我们总能找到描绘它们的新办法。这是开展数学的重要信仰,也是维护数学这一范畴的重要防护。

许多过去事件以及人物信息来自于wikipedia牛顿、莱布尼茨、巴罗、伽利略、微积分、微积分根本定理的中英文词条。
2017-08-28 00:00:00
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虽然我是做剖析的人,可是我仍是认同仅考虑数学的创立力,Sir Newton未必比得过Galois,微积分即便NL不提出,我想很快仍是有人会提出的,可是Galois Theory这种理论,假如不是有这么一个不世出的Galois,有概率几十年上百年都没有人能提出。
2017-08-28 00:00:00
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我们能够从一场数学史上极富盛名的应战赛来比较一下牛顿和与此同时代其他数学家的水平。

约翰·伯努利在1696年提出最速降线的问题(problem of brachistochrone),向全欧洲数学家寻求回答。这个问题最早由伽利略在1630年提出:

“一个质点在只受重力的效果下,从一个给定点A到不在它笔直下方的另一点B,问沿着什么曲线下滑所需时刻最短?”

但是伽利略自己给出的答案是过错的:他以为这条曲线是过AB的圆弧。这条曲线也不是衔接AB两点的直线,虽然AB间线段最短,但小球滚下来的时刻不是最短。

伯努利把此问题发布在Acta Eruditorum上,他还这么说:

“我,约翰·伯努利,想找到国际上最出色的数学家。对聪明人而言,没有什么能比一道诚笃而赋有应战性的难题更有吸引力,其概率的处理方案将会成为一个永久的纪念碑。依照帕斯卡,费马等人设定的事件,请答应我代表整个数学界将这个特别能在今日检测我们的数学技巧和思维耐力的问题展现在最优异的数学家面前。假如有人能把答案递送与我,我会将其揭露,并颁发其应得的奖励。”

伯努利原定的截止期限是1696年年末,但是他只受到了一份来自他的教师莱布尼兹的回答。莱布尼兹要求伯努利将截止期限延伸到来年复活节(大致在3月下旬到4月下旬之间),以便让欧洲数学家们有更多时刻来充沛处理此道难题。约翰·伯努利亲身把最速降线问题抄了一份,装进信封寄给在英国的牛顿。

1697年1月29日,牛顿正在造币局里忙着改铸新币的作业。下午4点回到家里,他看到了邮箱里伯努利寄来的问题。虽然牛顿十分疲乏,他当即彻夜未眠的投入研讨,在清晨4点时得到问题的回答。他将他的回答寄给老友兼皇家协会主席查尔斯,随后皇家协会以匿名的方式宣布在Philosophical Transactions上。

要知道,此刻的牛顿现已56岁,作业重点是皇家铸币厂监管。他还在1690年代写了许多处理圣经的文字解说的宗教小册子。即使如此,在忙了一天的本职作业后,牛顿仍是用几个小时就处理了许多欧洲数学家都无法解出的难题。约翰·伯努利自己也花了两个星期的时刻才结束回答。

1697年复活节的截止期限,伯努利共收到了5份答案,他自己和其教师莱布尼兹,第三份是他的哥哥雅可布·伯努利,洛必达是第四个,最终是一份匿名答案。伯努利在阅览最终一份回答时当即认出它的作者,他惊叹自己

从利爪上认出了这头狮子(recognizes a lion from his claw mark)

在给查尔斯的信里(谢谈论区@安定 指出),牛顿还写道:我不喜欢在数学上被外国人欺骗(I do not love to be dunned and teased by foreigners about mathematical things)


莱布尼兹后来还有一次向牛顿建议应战。那是1715年,莱布尼兹要应战英国数学家,当然主要是应战牛顿,要求给出寻觅单参数曲线族的正交轨迹(orthogonal trajectories of a given family of curves)的一般办法。这在其时是个悬而未决的难题,莱布尼兹自己也只是处理了该问题的特别景象,不像约翰·伯努利在建议最速降线问题的应战时,他自己现已知道答案。

虽然牛顿其时现已是74岁高龄,他仍旧一身疲乏的从造币厂下班回家,然后花一个晚上时刻把问题处理,并将回答宣布在1716年的Philosophical Transactions上。


容许我再作一些阐明。我举这两个应战的事件,压根不是为了阐明最速降线问题和曲线族正交轨迹这两个作业对牛顿的数学成果有多么重要。真实上,牛顿求解这两个问题用到的技巧都不是最奇妙的,在求解最速降线上用到变分的思维,在曲线族问题上用了一般的二阶常微分方程。处理这两个应战,不过是牛顿对莱布尼兹和伯努利等欧洲数学家的质疑进行回应。提这两个应战,意图就是展现牛顿在数学方面的天分和求解难题上惊人的智力。

将牛顿和高斯,欧拉放在一同比较数学奉献是毫无意义且不公正的。他们都是天分禀异的大师,他们的数学作业对后世的启示都是极端深远的(当然欧拉更是一位以高产出名的数学大师)。但他们压根不是一个年代的数学家。哪怕是同一个年代的莱布尼兹,他在数学上的奉献也是极端广泛,连牛顿前期也称誉他是“最出色的几许学家”。有人会说没有牛顿,微积分也会被莱布尼兹提出。这当然没有错,但牛顿对微积分的奉献一样是莱布尼兹所无法替代的。他从物理运动和几许办法动身研讨微积分,莱布尼兹则更为统一紧密的从剖析学动身。

牛顿对数学的奉献是极端广泛的。广义二项式定理,牛顿恒等式、牛顿法(迫临函数的零点),立方面曲线分类,有限差分理论,丢番图方程。他用对数趋近了调和级数的部分和(这是欧拉求和公式的一个前驱),并初次有把握地利用幂级数和回转幂级数。莱布尼兹跟牛顿争了大半辈子关于微积分的发明权,直到逝世后几年学术界还在争论。但莱布尼兹是这样点评牛顿在数学上的成果:

在从国际着手到牛顿生存的年代的悉数数学中,牛顿的作业超过了一半”。

2017-08-27 00:00:00
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谢邀。

牛顿的年代太早了,微积分创建今后的数学才叫近代数学,而他仅仅年代的开创者,天然不能盼望他能预测到后来几百年的数学系统之开展。除了微积分方面的奉献外,牛顿多项式、牛顿多边形、牛顿迭代算法等等也是很重要的效果。

假如非要点评的话,我会说,牛顿在数学上是个很聪明的人,发现了许多很重要的、有思想性的数学技巧、办法,可是依然受年代所限。微积分草创时期的人在数学视野方面必定比不上两百年后的数学家,至于数学才能么,这就见仁见智了,横竖这东西也无法量化。再者,关公战秦琼的工作比来比去原本也没什么含义。
2017-08-27 00:00:00
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